HYPERBOLIC / NEGATIVE CURVATURE
双曲几何：边界永远在远方，空间却比平面生长得更快
在这里，线外一点可以画出无穷多条不与给定直线相交的测地线；三角形越大，内角和越小。
03圆盘 · 测地线 · 角亏
01 / POINCARÉ DISK把无限空间装进一个有限圆盘
庞加莱圆盘模型把整个双曲平面表示在一个圆的内部。模型中的“直线”是与边界圆正交的圆弧，或穿过圆心的直径；边界不属于空间，因此走向边缘会需要无限的双曲距离。画面会压缩尺寸，却保留角度，这使它特别适合观察局部形状。
圆弧在纸面上是弯的，但按模型内在距离衡量，它们承担“最直路径”的角色。不要用外部欧氏圆盘的尺子直接判断内部距离。
02 / ANGLE DEFECT三角形的角度“少”到哪里去了
在恒定负曲率的双曲平面中，三角形内角和小于 180°。差值称为角亏；在固定曲率尺度下，面积与角亏成正比。三角形越大，偏离欧氏直觉越明显；足够小的区域则近似平坦。
α + β + γ < π
这不是把普通三角形“画歪了”。长度、角度、直线和面积都由同一套内在度量定义。若只把双曲图形嵌进欧氏纸面，却继续用纸面的长度规则，就混合了两套几何。
为什么局部看起来仍像欧氏平面？
光滑曲面在一个足够小的邻域内可由切平面近似。曲率造成的差异通常随考察尺度累积，因此小三角形的内角和非常接近 180°，大三角形才显出明显角亏。
03 / EXPONENTIAL ROOM负曲率意味着“空间更多”
在欧氏平面里，半径增大时圆周长度按半径线性增长；在双曲平面里，它增长得更快，呈双曲正弦式的指数趋势。结果是：同样向外走若干层，双曲空间可以容纳远多于平面的分支。
这解释了双曲几何为何适合表达树状层级：靠近中心放置根节点，越往外越能安排指数增多的后代。Poincaré embeddings 正利用这种匹配，将层级数据放进负曲率空间，并在机器学习中以距离表达相似性与包含关系。[7]
04 / DO NOT CONFUSE三个常见误会
- 圆盘边界
- 边界是理想边界，不是可以到达的一圈墙。
- 视觉缩小
- 靠边对象在欧氏图上看起来更小，是模型压缩无限距离的结果，不代表内部观察者也看到同样尺度。
- 马鞍面
- 马鞍形曲面有助于形成负曲率直觉，但完整双曲平面不能无扭曲地作为普通三维欧氏空间中的光滑完整曲面实现。
05 / THREE WINDOWS同一个双曲平面，三扇不同的窗
| 模型 | “直线”长什么样 | 最适合观察 |
|---|---|---|
| 庞加莱圆盘 | 正交于边界的圆弧或直径 | 保留角度，适合镶嵌与整体对称 |
| 庞加莱上半平面 | 垂直于边界的半圆或竖直线 | 复分析、分式线性变换 |
| Klein 圆盘 | 圆盘中的普通弦 | 测地线视觉直接，但角度会失真 |
模型之间可以建立保持内在关系的变换。若两个图像里的线看起来不同，不代表它们描述不同几何；要比较的是哪些量被准确保存。庞加莱模型保角但不把测地线都画直，Klein 模型把测地线画直却不保角，这正说明“好模型”取决于问题。
为什么双曲镶嵌靠边会越来越密？
等大的双曲多边形在内在度量中并没有缩小；是圆盘模型将离中心越来越远的区域压进有限边界。视觉上的密集，是无限空间被压缩后的投影效果。